拓扑场论简介

1. 回顾QHE

材料中的电子在受到磁场的作用下会做圆周运动，其转动的频率我们称之为拉莫尔频率。在量子力学中，我们可以用一个等效的谐振子模型来描述这个运动，从而电子形成的相应能级我们称之为Landau能级，满足

$$E=\hbar \omega_B(n+\frac{1}{2})$$

其中$\omega_B=\frac{eB}{m}$。电子在材料的边缘处会产生边缘态（edge state），由于电子在边缘的运动方向是单一的且由磁场决定，我们称这种态为手征边缘态。

如果我们在材料的两侧加上电压（当然是和磁场垂直的方向），那么两侧的边缘态的费米能级就会发生变化，其在实际中反应为两边的电子数将发生变化，这可以等效为一个霍尔电导。在直观上，手征边缘态应该是完美的电流传输通道，而量子力学限制单个传输通道的最大电导率为$G_0=e^2/h$，所以整个材料的霍尔电导为

$$\sigma_H=n\frac{e^2}{h}$$

其中$n$为通道数，也就是电子所占有的Landau能级的数量。在拓扑绝缘体中，其受拓扑性质保护，我们可以用第一类Chern数来表示此占有数

$$n=C_1$$

2. 二维拓扑绝缘体的等效作用量

由于霍尔电导的存在，我们需要重新写出体系的作用量，使得电流满足的Maxwell方程组多出一项（以$x$方向为例）

$$\Delta J^1=\sigma_{xy}E_y$$

可以验证以下的作用量满足上面这条式子

$$S_{\text{topo}}=\frac{1}{2}\sigma_{xy}\int\mathrm{d^2}x\mathrm{d}t\epsilon^{\mu\nu\rho}A_\mu\partial_\nu A_\rho$$

通过对$A_\mu$进行泛函变分即可得到结果，不过有意思的是，这样的作用量除了带来霍尔电导外，还描述了电荷密度会受到磁场的影响

$$\Delta J^0=\sigma_{xy}B_z$$

在边缘态，体系的Landau能级受到边界处电场的影响而发生变化，不过在边缘处我们可以近似地认为线性的色散关系成立，即

$$\epsilon_{\text{edge,k}}\sim \pm v_k k$$

由于一对边缘态的电子运动方向正好是相反的，上式的正负号正好分别表示某一个边缘态的电子色散关系，两者结合起来，正好形成了无能隙的狄拉克锥（实际上在二维里不应该叫锥，但是无所谓了）

3. 三维拓扑绝缘体

三维拓扑绝缘体的能带

对于三维拓扑绝缘体的能带分析，和二维是类似的。三维材料的表面存在所谓的表面态，电子运动可以在$x,y$两个方向上，所以色散关系可以写为

$$\epsilon_k\sim \pm v\sqrt{k_x^2+k_y^2}$$

但是当我们在表面人为地加上磁化之后，此时自旋的相互作用不可忽略，体系的哈密顿量此时可以写为

$$\begin{aligned} & E= \pm \sqrt{\left(\hbar v_F k\right)^2+m_{\mathrm{SO}}} \\ & H=t_1 \sum_{\langle i, j\rangle, \sigma} c_{i \sigma}^{\dagger} c_{i \sigma}+i m_{S O} \sum_{\langle(i, j\rangle\rangle, \sigma, \sigma^{\prime}} \nu_{i j} c_{i \sigma}^{\dagger} s_{\sigma \sigma^{\prime}}^z c_{j \sigma^{\prime}} \end{aligned}$$

我们可以看到此时的能带从原本的无能隙变成了有能隙，也就是从无质量的狄拉克费米子变成了有质量的狄拉克费米子。

本构关系和TME

如果我们在三维材料的上下表面增加一个相同方向的磁场，那么这个时候材料的侧面将会出现边缘态。这可以理解为如果把二维的表面摊平，上下表面的磁场方向实际上是相反的，那么在他们的边缘就会出现边缘态电流。

此时在边缘态的平面内，我们可以认为其霍尔电导由上下两个表面的部分贡献而成，即

$$\sigma_{xy}=\frac{e^2}{h}=\sigma_{xy}^{\text{up}}+\sigma_{xy}^{\text{bot}}$$

由对称性，我们可以更加一般地写为

$$\sigma_{xy}^{\text{up}}=\sigma_{xy}^{\text{bot}}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{e^2}{h}$$

如果上下表面的磁场方向相反（但大小相等），此时的磁场在上下表面诱导出来的边缘电流是相同且反向的，体系整体没有表现出霍尔效应和净磁矩。但是当在上下表面加上电压之后，情况就发生了变化。由量子霍尔效应我们可以得知，一个边缘态加上电压之后，由于把费米能级太高了，所以相应的电子数要增多，从而导致了电流的增加

$$I_{\text{edge}}^{\text{up}}\sim \left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{e^2V^{\text{up}}}{h}\quad I_{\text{edge}}^{\text{bot}}\sim \left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{e^2V^{\text{bot}}}{h}$$

此时上下表面的磁矩分别为

$$m^{\text{up}}=\frac{I^{\text{up}}L_xL_y}{c}\quad m^{\text{bot}}=\frac{I^{\text{bot}}L_xL_y}{c}$$

整个材料的磁化强度为

$$M=\frac{m^{\text{up}}-m^{\text{bot}}}{L_xL_yL_z}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{e^2}{ch}E_z$$

这也就意味着$z$方向的电场，也可以诱导出$z$方向的磁化，此时的本构关系应该改写为

$$\vec{M}=\vec{M}_c+(2n+1)\frac{\alpha}{4\pi}\vec{E}$$

其中$\alpha=e^2/\hbar c$为精细结构常数，上式的第二项贡献，我们称之为topological magneto electric effect (TME)。

回想之前写二维拓扑绝缘体的作用量时，磁场也会导致电荷密度的变化，所以类似的我们有

$$\vec{D}=\vec{E}+4\pi\vec{P}_c-\left(2n+1\right)\alpha\vec{B}$$

三维拓扑绝缘体的等效作用量

我们可以同样写出三维拓扑绝缘体的作用量

$$\begin{aligned} S=-\frac{1}{16 \pi} & \int d^4 x F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}-\frac{1}{2} \int d^4 x P^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \\ & +\int d^4 x J^\mu A_\mu-\frac{\alpha}{4 \pi} \int d^4 x P_3 \in \epsilon^{\mu \nu\rho \sigma } \partial_\mu A_\nu \partial_\rho A_\sigma \end{aligned}$$

其中

$$P_3= \begin{cases}n+\frac{1}{2} & \text { inside material. } \\ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}$$

我们可以完成地写出其满足的Maxwell方程组

$$\left\{\begin{array}{l} \nabla \times \vec{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0 \\ \nabla \cdot \vec{B}=0 \\ \nabla \cdot \vec{D}=4 \pi P+2\alpha \nabla \cdot\left(P_3 \vec{B}\right) \\ \nabla \times \vec{H}-\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}=4 \pi \vec{J}-2\alpha\left[\nabla \times\left(P_3 \vec{E}\right)+\partial_t\left(P_3 \vec{B}\right)\right] \end{array}\right.$$

此即轴子场理论（Axion field theory）