量子霍尔效应（二）

从边缘态看量子霍尔效应

1. 边缘态的经典图像

当考察一个霍尔圆柱时，我们将证明样本边缘上存在局域化的电子态。事实上，证明这些态必须存在是非常容易的。我们只需要再次思考一个电子在垂直磁场$B$中运动时的经典轨迹。这个轨迹是一个圆形轨道，半径由回旋半径给出。当电子的轨道中心距离圆柱体的边缘太近时，比如距离小于一个回旋半径时，经典轨迹会发生什么？这个问题比起说起来，画出来更加容易：

电子不能离开样本，需要在内部反弹。这会形成所谓的跳跃轨道（skipping orbit）。在实际样本中，会有一个限制电子的电势，这个电势将电子保持在霍尔条（Hall bar）或圆柱体内。体内的强磁场和限制电势的组合会在边缘产生不闭合的轨迹，这些轨迹沿着整个边缘传播。

在下边缘只有向左运动的态，而在上边缘只有向右运动的态。每个边缘上只有沿一个方向传播的态，并且对立边缘的传播方向是相反的。这些在边缘上获得的奇特态通常被称为手征边缘态（chiral edge states）。边缘的手征性由磁场的方向决定（垂直于平面向外或向内），如果磁场方向反转，两个边缘的传播方向也会反转。

上面的示意图完全基于经典物理，需要用量子力学的考虑来补充，才能给出定量的预测。我们很快会看到，上面示意图的量子版本能够给出量子化霍尔效应的解释，这与Laughlin的理论是互补的。

但在继续之前，我们应该意识到，上面的图像实际上是体-边界对应（bulk-boundary correspondence）的表现。如果没有量子霍尔样本的体，手征边缘态是无法存在的。

2. 边缘态的量子图像

让我们更详细地看看霍尔系统的边缘。我们来考虑一个带状几何结构（ribbon geometry），这次我们将明确考虑带状物体在$y$方向上的有限宽度$W$。为了将电子限制在这个区域内，必须存在一个势垒$V(y)$，这个势垒需要加到哈密顿量中：

$$H=p_y^2+(\hbar k - e B y - \Phi)^2 + V(y)$$

让我们回顾一下，由于在$x$方向上的周期性边界条件，我们有$k = 2\pi n / L$。我们并不关心势能的具体形状。一般来说，它在ribbon的中间是非常平坦的，而在边界处则非常陡峭：

势能如何影响哈密顿量$H$的能量本征值？在ribbon中部，远离边缘的地方，势能是平坦的，因此我们可以安全地设置$V(y)=0$。在ribbon内部，我们仍然得到平坦的Landau能级，能量$E$与$k$无关。这些态对应于上面经典示意图中的回旋轨道。

但是现在让我们靠近边缘。也就是说，考虑那些中心位置为$y_0 = \hbar c k / e B$，且距离边缘不超过几个磁长度的态。这些态对限制势能非常敏感，因此它们的能量将会受到影响。谱的精确形式并非普适的，而是依赖于$V(y)$的具体形状。然而，一般来说，我们预计能量$E(y_0)$会相对于原始Landau能级增加一个与$V(y_0)$成正比的量。

因为$y_0$与$k$成正比，这意味着靠近边缘的态会获得对$k$的依赖。让我们通过绘制我们的$E(k)$来看看这是否成立：

你可以看到，由于Landau能级的弯曲，即使费米能级像图中那样位于体态带隙的中间，仍然会有能级穿越它。我们可以将负$k$的能级与局域化在ribbon下边缘的态关联，将正$k$的能级与局域化在ribbon上边缘的态关联。对于每个边缘，边缘态的数量与系统体内填充的Landau能级数量相同。

色散关系$E(k)$的具体形状将取决于限制势能的细节（在此案例中为无限方势井）。然而，靠近费米能级时，我们总可以将边缘态的色散关系$E(k)$近似为一条直线。然后我们得到，对于每个边缘态，能量和动量之间的线性关系：

$$E = \hbar v (k - k_F)$$

这里$k_F$是费米动量，在我们带子的情况下，$k_F = 2 \pi N / L$，其中$N$是系统中的电子数。

由于势能的斜率就是垂直于样本边缘的局部电场$\mathcal{E}_y = - \partial_y V(y)$，边缘态的速度$v$可以简单地解释为跳跃态的漂移速度：

$$v = \mathcal{E}_y / B$$

在两个边缘上，速度的方向是相反的，因为限制势能产生的局部电场$\mathcal{E}$总是指向样本的内部。

一个重要的点是，边缘态的存在并不依赖于样本的特定形状。你可以按照任何你想要的方式切割量子霍尔系统，只要它有边缘，它就会有边缘态。

3. 手征不对称性

手征边缘态可以用如此简单的术语来描述，以至于你可能会怀疑它们不能没有体态存在。毕竟，我们难道不能仅仅建立一个关于单个手征边缘态的理论，忽略量子霍尔系统的体态和另一个边缘的存在吗？难道一个真正的一维系统不会展现出与量子霍尔效应的手征边缘态相同的行为吗？

让我们考虑方程$E=\hbar v(k-k_F)$，它描述了这些手征态。我们可以想象沿边缘施加一个恒定的电场$\mathcal{E}$，这个电场与动量$k$平行。（在霍尔圆柱中，这可以通过在圆柱中穿过一个时变磁通来实现，正如你在讲座的前部分中看到的那样）。

动量$k$根据方程$\hbar \dot{k} = -e \mathcal{E}$变化。经过时间$t$后，具有动量$k$的态的能量变为$\hbar v(k-k_F - e \mathcal{E} t / \hbar)$。这种增加对应于费米动量的一个时变偏移，即$k_F \rightarrow k_F + e \mathcal{E} t / \hbar$。回想一下$k_F = 2 \pi N / L$，其中$N$是电子数，因此$k_F$的变化率给出

$$\dot{N} = \mathcal{E} L / \Phi_0$$

其中$\Phi_0 = h / e$是磁通量子！由于电子数在变化，电荷不再守恒。特别地，经过一段时间，使得$\mathcal{E} L t = \Phi_0$，似乎恰好有一个电子从边缘“冒出来”了。

此时，你应该明白发生了什么。这就是如果你只看一个边缘，一个边缘上的电子数可以增加，因为电子从另一个边缘（我们在“理论”中没有包括的边缘）被耗尽，并通过体内泵送，直到它们出现在当前边缘。

这个边缘的特性被称为手征不对称性（chiral anomaly）。手征不对称性告诉我们，若没有体态，我们无法为手征边缘态建立一个一致的理论，同时还保持电荷守恒。手征边缘态，或者任何展现出手征不对称性的东西，都是体-边界对应的一个例子，因为它们只能出现在二维系统的边缘，而永远不会孤立存在。

我们称这种不对称性为“无害的”，因为当系统的其余部分被包括在内时，边缘电荷不守恒有一个非常简单的解释。如果你遇到其他“异常”的理论，这很可能是一个信号，表明你考虑的系统只是某个其他系统的边缘！

4. 从边缘态推导量子霍尔电导

为了总结关于手征边缘态的讨论，我们现在将展示，量子霍尔效应的两个特征可以仅仅通过边缘态来解释，前提是忽略电子之间的相互作用。原则上，这个推导可以在你到目前为止看到的任何样本几何形状中进行：6端霍尔条、霍尔圆柱体和科尔比诺几何。为了方便起见，我们将选择最后一种几何形状。

所以，让我们再次考虑处于外部磁场中的圆盘。与上次不同的是，我们现在在边缘之间施加一个小的电压差$V$，并且在圆盘的中心没有磁通量通过。

在这个新的图示中，我们还添加了箭头，表示我们现在知道圆盘的每个边缘都支持一个手征态。这里给你展示另一张美丽的图，展示了圆盘中的局部态密度，显示了边缘态：

注意，每个边缘态的局部态密度在最大值和最小值之间振荡。这是因为边缘态的波函数是驻波。

回到正题，我们想要考虑系统处于平衡状态的情况，并且我们要问，施加小电压$V$后，系统中流动的电流是多少。

首先，$V$并不会决定边缘之间是否存在电流。尽管电子可以注入边缘，但这些边缘被系统的体态所隔开，在体内，由于费米能级的位置，没有可用的态来携带电流。此外，圆盘中并没有通过时变磁通量，因此Laughlin泵浦并未运作。由于在与施加电压平行的方向上没有电荷转移，我们得到纵向电导率$\sigma_L = 0$。

然而，环路中流动的电流$I_{\circlearrowleft}$是多少呢？由于这种电流是与施加电压方向垂直的，因此它与霍尔电导率相关，

$$I_{\circlearrowleft} = \sigma_H V$$

首先考虑$V = 0$的情况。此时，两个边缘的费米能级是相同的。顺时针流动的电子数与在内边缘上逆时针流动的电子数相等。在这种情况下，环路中没有净电流流动。

施加一个小电压差$V$会在边缘之间的电子分布上造成轻微的不平衡。比如，在内边缘上逆时针流动的电子会比在外边缘上顺时针流动的电子多。因此，我们确实会预期环路中会有一个净电流流动。

让我们计算电流的强度，每个手征边缘态都是电流的传输通道。手征边缘态的定义特性是它们只允许电子沿着边缘朝一个方向移动。电子没有机会反转它们的速度，换句话说，没有机会发生背向散射。这意味着手征边缘态是完美的电流传输通道，因此它们具有可能的最高电导率。量子力学限制了单个传输通道的最大电导率为$G_0 = e^2 / h$（具体见后面的附录），这就是你上周见过的电导量子。假设有$n$个这样的通道，我们得到：

$$I_{\circlearrowleft} = n \frac{e^2}{h} V$$

因此，相关的电磁响应——即纵向电导率和霍尔电导率$\sigma_L = 0$和$\sigma_H = n e^2 / h$——都可以通过仅仅考虑手征边缘态来直接推导得出。

5. 附录：Landauer公式

兰道尔公式（Landauer Formula）是量子输运理论中的一个基本公式，用于描述微观尺度下电子通过导体的电导行为。该公式将电导与电子在传输通道中的透射率（Transmission Probability）联系起来，揭示了量子力学在宏观电输运中的重要作用。以下是兰道尔公式的详细推导过程。

基本假设与系统模型

我们考虑一个简化的系统模型，即一个具有两个理想金属引线（leads）的微观导体（conductor）。这个系统通常被称为“两端接触的导体”模型。系统的结构如下：

引线A (左)  ── 导体 ── 引线B (右)

• 导体：位于中间区域，包含一个或多个传输通道。
• 引线A和引线B：分别位于导体的两端，具有大量电子态，且被视为电子源和汇。

电子态与透射率

在量子力学中，电子在导体中的传播可以通过波函数来描述。每个传输通道对应于导体中一个特定的量子态，电子可以通过这些通道从引线A传输到引线B。

• 透射率 $ T_n $：第 $ n $ 个传输通道的透射概率，表示电子从引线A通过导体传输到引线B的概率。满足 $ 0 \leq T_n \leq 1 $。

费米分布与电位差

假设引线A和引线B分别处于不同的化学势 $ \mu_A $ 和 $ \mu_B $ 下，且存在一个小的电位差 $ V $，即：

$$\mu_A = \mu + \frac{eV}{2}, \quad \mu_B = \mu - \frac{eV}{2}$$

其中，$ e $ 是电子的基本电荷，$ \mu $ 是系统的平均化学势。

电子流量的计算

在量子力学框架下，电子的流量（即电流）可以通过电子态的占据情况和透射率来计算。

• 单位时间内从引线A流向导体的电子数：由引线A中能量高于费米能级的电子态向导体传输的电子数。

$$I_A = \sum_{n} T_n \cdot \Delta f_A$$

• 单位时间内从导体流向引线B的电子数：由导体中低于费米能级的电子态向引线B传输的电子数。

$$I_B = \sum_{n} T_n \cdot \Delta f_B$$

其中，$ \Delta f_A $ 和 $ \Delta f_B $ 分别是引线A和引线B中电子态的占据概率变化，受化学势差 $ \Delta \mu = \mu_A - \mu_B = eV $ 的影响。

线性响应与小电位差近似

在电位差 $ V $ 较小的情况下，可以采用线性响应理论进行近似。根据费米分布的性质，有：

$$\Delta f_A - \Delta f_B \approx \frac{\partial f}{\partial \mu} \cdot eV$$

其中，$ f $ 是费米-狄拉克分布函数。

电流的表达式

综合上述结果，电流 $ I $ 可以表示为：

$$I = \frac{e}{h} \sum_{n} T_n (\Delta f_A - \Delta f_B)$$

在小电位差 $ V $ 下，进一步简化为：

$$I = \frac{e^2 V}{h} \sum_{n} T_n$$

因此，电导 $ G $ 为：

$$G = \frac{I}{V} = \frac{e^2}{h} \sum_{n} T_n$$

这就是兰道尔公式的基本形式。

单个传输通道的最大电导

兰道尔公式表明，电导与传输通道的透射率 $ T_n $ 成正比。为了推导单个传输通道的最大电导 $ G_0 = \frac{e^2}{h} $，我们考虑以下情况：

• 完全透射：即 $ T_n = 1 $，表示电子在该传输通道中无散射地传输。

此时，单个传输通道的电导为：

$$G = \frac{e^2}{h} \times 1 = \frac{e^2}{h}$$

因此，单个传输通道的最大电导率为 $ G_0 = \frac{e^2}{h} $，称为电导量子（Conductance Quantum）。

物理意义与解释

• 量子限制：在微观尺度下，电子的传输受量子态的限制。每个传输通道对应一个独立的量子态，电子在该态中传播时的电导受到量子力学的限制。

• 无散射传输：完全透射的传输通道对应于无散射的电子传输路径，确保了电流的最大贡献。

• 量子干涉：传输通道的量子态之间可能存在干涉效应，但在完全透射的情况下，这些效应不会降低电导，确保了 $ G_0 = \frac{e^2}{h} $ 的实现。