隧穿电离过程中的非偶极效应

参考文献http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.118.163203

想要计算电离时候动量分布的非偶极效应，关键在于计算非偶极情况下的Volkov态

在矢势中引入非偶极项

$\mathbf{A}(\mathbf{x}, t) \approx \mathbf{A}(t)+(z / c) \mathbf{E}(t)$

TDSE

$i \frac{\partial}{\partial t} \psi_V(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{2}\left\{\left[\mathbf{p}{\perp}+\mathbf{A}{\perp}(\eta)\right]^2+p_z^2\right\} \psi_V(\mathbf{r}, t)$

暴力求解可得

$\psi_V(\mathbf{r}, t)=\exp \left(-i E_{\mathbf{p}} t+i \mathbf{p} \cdot \mathbf{r}\right) f(\eta)$

其中

$f(\eta)=G(\eta) f_0(\eta)$

而

$f_0(\eta)=\exp \left(-i \int^\eta d \xi\left\{\left[\mathbf{A}(\xi) \cdot \mathbf{p}+(1 / 2) \mathbf{A}^2(\xi)\right] /\left(1-p_z / c\right)\right\}\right)$ $G(\eta)=T\left(\exp \left\{i \int^\eta d \xi\left[f_0^*(\xi) \frac{d^2}{d \xi^2} f_0(\xi)\right] /\left[2 c^2\left(1-p_z / c\right)\right]\right\}\right)$

带入电离率公式

$M_{\boldsymbol{p}}=-\mathrm{i} \int_{t_0}^{t_{\mathrm{f}}}\left\langle\psi_{\boldsymbol{p}}\left(t_{\mathrm{f}}\right)\right| U\left(t_{\mathrm{f}}, \tau\right) V_{\mathrm{int}}(\tau)\left|\psi_0(\tau)\right\rangle \mathrm{d} \tau$

可以得到考虑非偶极效应之后的电离率公式

$\begin{aligned} W^{(1)}(\mathbf{p})= & -i \int_{t_0}^{t_f} d \eta G^*(\eta)\left[\mathbf{A}(\eta) \cdot \mathbf{p}+1 / 2 \mathbf{A}^2(\eta)\right] \\ & \times \exp \left[i\left(S_{\mathbf{p}}(\eta)+I_p \eta\right)\right] \tilde{\phi}0\left(\mathbf{p}{\perp}, p_z-\frac{E_{\mathbf{p}}+I_p}{c}\right), \end{aligned}$

这样一个看着很formal但是可以数值计算的公式

另外，文章指出，加入了非偶极项之后，规范不变性不再成立（毕竟本身也不是严格的电磁场，也还有近似）。而长度规范相比于速度规范更加贴近实验结果，所以所有的计算都采取长度规范

$\begin{aligned} W_L^{(1)}(\mathbf{p})= & -i \int_{t_0}^{t_f} d \eta \exp \left[i\left(S_{\mathbf{p}}(\eta)+I_p \eta\right)\right]\left(1-\frac{p_z}{c}\right) \mathbf{E}(\eta) \\ & \left.\cdot i \frac{\partial}{\partial \mathbf{k}} \tilde{\phi}0(\mathbf{k})\right|{\mathbf{k}=\left[\mathbf{p}{\perp}+\mathbf{A}(\eta), p_z-\left(E{\mathbf{p}}+I_p\right) / c\right]}, \end{aligned}$

圆偏振光

接下来仔细考察对于纵向动量longitudinal momentum的影响，根据量纲分析，可以猜测

$\left\langle p_z\right\rangle=\frac{\alpha\left\langle E_{\mathbf{p}}\right\rangle+\beta I_p+\gamma U_p}{c}$

上图的横坐标为电子在电离过程中吸收的光子数N

可以发现，随着N的增大

$\alpha\rightarrow 1,\quad \beta\rightarrow 0.3,\quad \gamma\rightarrow 0$

接着考察pz对于光强和初始态的依赖关系

可以发现，不同态电子的非偶极效应并不相同，这种差异可能来自于轨道角动量的不同

仅有初态为(1,0,0)的电子，关于Ip的依赖系数为0.3

线偏振光

相比于圆偏振光，线偏振光更为复杂。由于重散射（rescattering）的影响，库仑作用不可忽略。我们可以通过引入一次散射的方式进行电离率的修正

$\begin{aligned} W^{(2)}(\mathbf{p})= & (-i)^2 \int_{t_0}^{t_f} d \tau^{\prime} \int_{t_0}^{\tau^{\prime}} d \tau \int \frac{\mathrm{~d}^3 k}{(2 \pi)^3} \\ & \times\left\langle\mathbf{p}_V\left(\tau^{\prime}\right)\right| V_c\left|\mathbf{k}_V\left(\tau^{\prime}\right)\right\rangle\left\langle\mathbf{k}_V(\tau)\right| H_I(\tau)\left|\phi_0(\tau)\right\rangle, \end{aligned}$

带入具体的的哈密顿量和库仑势

$\begin{aligned} W^{(2)}(\mathbf{p})= & (-i)^2 \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^3} \int_{t_0}^{t_f} d x_1 \int_{t_0}^{x_1} d x_2 H_I\left(x_2\right) \\ & \times \exp \left\{i\left[S_{\mathbf{p}}\left(x_1\right)-S_{\mathbf{k}}\left(x_1\right)+S_{\mathbf{k}}\left(x_2\right)+I_p x_2\right]\right\} \\ & \times \tilde{V}c\left(\mathbf{p}{\perp}-\mathbf{k}{\perp}, p_z-k_z-\frac{E{\mathbf{p}}-E_{\mathbf{k}}}{c}\right) \\ & \times \tilde{\phi}0\left(\mathbf{k}{\perp}, k_z-\frac{E_{\mathbf{k}}+I_p}{c}\right) \end{aligned}$

其中库仑势选取为

$V_c=-(1 /|\mathbf{r}|) \exp (-\sqrt{\sigma}|\mathbf{r}|)$